Užitočné tipy

Priesečník vedení

Pin
Send
Share
Send
Send


wikiHow funguje na princípe wiki, čo znamená, že mnohé z našich článkov napísali viacerí autori. Pri vytváraní tohto článku 13 ľudí (a) pracovalo na jeho úprave a vylepšovaní, a to aj anonymne.

Počet zdrojov použitých v tomto článku: 6. Zoznam ich zdrojov nájdete v dolnej časti stránky.

V dvojrozmernom priestore sa dve čiary pretínajú iba v jednom bode určenom súradnicami (x, y). Pretože obe čiary prechádzajú bodom ich priesečníka, súradnice (x, y) musia spĺňať obe rovnice, ktoré tieto čiary opisujú. Pomocou niektorých ďalších zručností môžete nájsť priesečník paraboly a ďalšie kvadratické krivky.

Priesečník dvoch čiar v rovine

Ak systém rovníc:

  • jediné riešeniepotom čiary sa pretínajú,
  • nekonečné riešeniapotom linky sa zhodujú,
  • nemá žiadne rozhodnutiapotom priame čiary sa nepretínajú (čiary paralelne k sebe)

riešenie: Na výpočet súradníc priesečníka priamok riešime systém rovníc:

y = 2 x - 1 y = -3 x + 1

Odčítajte prvú rovnicu od druhej rovnice

y - y = 2 x - 1 - (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x - 2 y = -3 x + 1

Z prvej rovnice nájdeme hodnotu x

5 x = 2 roky = -3 x + 1 => x = 25 = 0,4 y = -3 x + 1

Nahraďte hodnotu x v druhej rovnici a nájdite hodnotu y

x = 0,4 y = -3 · (0,4) + 1 = -1,2 + 1 = -0,2

Odpoveď. Priesečník dvoch čiar má súradnice (0,4, -0,2)

riešenie: Na výpočet súradníc priesečníka priamok riešime systém rovníc:

y = 2 x - 1 x = 2 t + 1 y = t

V prvej rovnici nahradíme hodnoty xay z druhej a tretej rovnice.

t = 2 · (2 ​​t + 1) - 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = - 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Nahraďte hodnotu t v druhej a tretej rovnici

t = - 1 3 x = 2 · (- 1 3) + 1 = - 2 3 + 1 = 1 3 y = - 1 3

Odpoveď. Priesečník dvoch čiar má súradnice (1 3, - 1 3)

riešenie: Na výpočet súradníc priesečníka priamok riešime systém rovníc:

2 x + 3 roky = 0 x - 2 3 = y4

Z druhej rovnice vyjadríme y ako x

2 x + 3 roky = 0 rokov = 4 x -2 3

Substituent y v prvej rovnici

2 x + 3 · 4 · x - 2 3 = 0 y = 4 x x 2 3 => 2 x + 4 · (x - 2) = 0 y = 4 x x 2 3 =>

2 x + 4 x - 8 = 0 y = 4 x x 2 3 => 6 x = 8 y = 4 x x 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4 x x 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4,4/3 - 2 3 = 4 -2 -2 3 3 = - 8 9

Odpoveď. Priesečník dvoch čiar má súradnice (4 3, - 8 9)

riešenie: Obe čiary sú dané rovnicami s uhlovým koeficientom. Pretože k 1 = k 2 = 2, potom sú čiary rovnobežné. Pretože sa tieto čiary nekryjú, neexistujú žiadne priesečníky.

Tento problém vyriešime aj pomocou systému rovníc:

y = 2 x - 1 y = 2 x + 1

Odčítajte prvú rovnicu od druhej rovnice

y - y = 2 x - 1 - (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

V prvej rovnici sme dostali protirečenie (0 ≠ -2), čo znamená, že systém nemá riešenie - neexistujú žiadne priesečníky priamok (priamky sú rovnobežné).

Odpoveď. Čiary sa nepretínajú (čiary sú rovnobežné).

riešenie: Nahradíme súradnice bodu N v rovnici priamok.

Odpoveď. Pretože obe rovnice sa zmenili na identity, bod N je priesečníkom týchto čiar.

Priesečník dvoch čiar v priestore

Ak systém rovníc:

  • má jedinečné riešenie, potom sa línie pretínajú,
  • má nekonečné množstvo riešení, potom sa línie zhodujú,
  • nemá riešenie, potom sa čiary nepretínajú (čiary sú rovnobežné alebo sa križujú)

riešenie: Tvoríme systém rovníc

x - 1 = ay - 1 = az - 1 = ax - 3 - 2 = b 2 - y = bz = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x - 3 -2 = b 2 - y = bz = b =>

Hodnoty x, y, z nahrádzame z 1, 2, 3 rovníc do 4, 5, 6 rovníc

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 - 3 -2 = b2 - (a + 1) = ba + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = bl - a = ba + 1 = b

Pridajte šiestu rovnicu k šiestej rovnici

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = ba + 1 + (1 - a) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = bl - a = bb = 1

Nahradíme hodnotu b vo štvrtej a piatej rovnici

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = 1 1 - a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Odpoveď. Čiary sa pretínajú v bode so súradnicami (1, 1, 1).

riešenie: Vytvoríme systém rovníc nahradením parametra t v druhej rovnici

x = 2 t - 3 y = t z = - t + 2 x = a + 1 y = 3 a - 2 z = 3

Hodnoty x, y, z nahrádzame z 1, 2, 3 rovníc do 4, 5, 6 rovníc

x = 2 t - 3 y = tz = - t + 2 2 t - 3 = a + 1 t = 3 a - 2 - t + 2 = 3 => x = 2 t - 3 y = tz = - t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a - 2 t = -1 =>

Hodnota t zo šiestej rovnice nahradíme zvyšnými rovnicami

x = 2 · (-1) - 3 y = (-1) z = - (- 1) + 2 2 · (-1) = a + 4 -1 = 3 a - 2 t = -1 => x = -5y = -1 z = 3 a = -6 a = 13 t = -1

Odpoveď. Od -6 ≠ 1 3 sa čiary nepretínajú.

Priesečník čiar v priestore - teória, príklady a riešenia

  • obsah
  • 1. Priesečník čiar uvedený v kanonickej podobe.
  • 2. Priesečník čiar definovaných v parametrickom tvare.
  • 3. Priesečník čiar uvedený v rôznych formách.
  • 4. Príklady nájdenia priesečníka čiar v priestore.

1. Priesečník čiar v priestore definovaný v kanonickej podobe.

Nechajte dať kartézsky pravouhlý súradnicový systém Oxyz a nechajte v tomto súradnicovom systéme priame čiary L1 a L2:

,(1)
,(2)

Nájdite priesečník čiar L1 a L2 (Obr. 1).

Píšeme rovnicu (1) vo forme systému dvoch lineárnych rovníc:

,(3)
(4)

Poďme sa množiť v rovniciach (3) a (4):

p1(xx1)=m1(yy1)
l1(yy1)=p1(zz1)

Otvorte zátvorky a preložte premenné na ľavú stranu rovníc a zostávajúce prvky na pravú stranu:

p1xm1y=p1x1m1y1,(5)
l1yp1z=l1y1p1z1.(6)

Podobne transformujeme rovnicu (2):

Píšeme rovnicu (2) vo forme systému dvoch lineárnych rovníc:

,(7)
(8)

Poďme sa množiť v rovniciach (7) a (8):

p2(xx2)=m2(yy2)
l2(yy2)=p2(zz2)

Otvorte zátvorky a preložte premenné na ľavú stranu rovníc a zostávajúce prvky na pravú stranu:

p2xm2y=p2x2m2y2,(9)
l2yp2z=l2y2p2z2.(10)

Systém lineárnych rovníc (5), (6), (9), (10) riešime tromi neznámymi x, y, z, Predstavte si tento systém v maticovej podobe:

(11)

Ako vyriešiť systém lineárnych rovníc (11) (alebo (5), (6), (9), (10)), pozrite si online stránku Gaussovej metódy. Ak je systém lineárnych rovníc (11) nekompatibilný, potom sú tieto priamky L1 a L2 nepretínajú sa. Ak má systém (11) veľa riešení, potom linky L1 a L2 zápas. Jediným riešením systému lineárnych rovníc (11) je, že toto riešenie určuje súradnice priesečníka priamok L1 a L2 .

2. Priesečník priamok v priestore definovaný parametrickou formou.

Nechajte dať kartézsky pravouhlý súradnicový systém Oxyz a nechajte v tomto súradnicovom systéme priame čiary L1 a L2 v parametrickej podobe:

(12)
(13)

Problém nájdenia priesečníka priamok L1 a L2 môžu byť riešené rôznymi metódami.

Metóda 1. Dáme rovnice priamok L1 a L2 do kanonickej podoby.

Aby sme dostali rovnicu (12) do kanonického tvaru, vyjadríme parameter T cez ostatné premenné:

(14)

Pretože ľavá strana rovníc (14) je rovnaká, môžeme písať:

(15)

Podobne uvádzame rovnicu priamky L2 do kanonickej podoby:

(16)

Ďalej na nájdenie priesečníka čiar uvedených v kanonickej podobe použite odsek 1.

Metóda 2. Nájsť priesečník čiar L1 a L2 spoločne riešia rovnice (12) a (13). Z rovníc (12) a (13) vyplýva:

(17)
(18)
(19)

Z každej rovnice (17), (18), (19) nájdeme premennú T, Ďalej zo získaných hodnôt T vyberáme tie, ktoré spĺňajú všetky rovnice (17) - (19). Ak je to taká hodnota T neexistuje, potom sa tieto riadky nepretínajú. Ak existuje viac ako jedna takáto hodnota, riadky sa zhodujú. Ak je to taká hodnota T jediná vec, ktorá nahrádza túto koncepciu T v (12) alebo (13) získame súradnice priesečníka čiar (12) a (13).

4. Príklady nájdenia priesečníka čiar v priestore.

Príklad 1. Nájdite priesečník čiar L1 a L2:

(20)
(21)

Predstavujeme rovnicu (20) vo forme dvoch rovníc:

(22)
(23)

V rovniciach (22) a (23) sa krížom násobíme:

Otvorte zátvorky a preložte premenné na ľavú stranu rovníc a zostávajúce prvky na pravú stranu:

To isté urobíme s rovnicou (2).

Predstavujeme rovnicu (2) vo forme dvoch rovníc:

(26)
(27)

Krížové násobenie v rovniciach (7) a (8)

Otvorte zátvorky a preložte premenné na ľavú stranu rovníc a zostávajúce prvky na pravú stranu:

Systém lineárnych rovníc (24), (25), (28), (29) riešime tromi neznámymi x, y, z, Predstavte si tento systém vo forme maticovej rovnice:

(30)

Riešime systém lineárnych rovníc (30) s ohľadom na x, y, z, Na vyriešenie systému zostavíme rozšírenú maticu:

Označte podľa ij prvky jariadok a jstĺpec.

Prvá etapa. Priamy kurz Gaussa.

Vylúčte prvky prvého stĺpca matice pod prvkom 1 1, Ak to chcete urobiť, pridajte riadok 3 do riadku 1-krát −1:

Vylúčte prvky druhého stĺpca matice pod prvkom 22, Na tento účel pridajte riadok 4 do riadku 2-krát −1/4:

Robíme permutáciu riadkov 3 a 4.

Druhá fáza. Gaussova spiatočka.

Vylúčte prvky tretieho stĺpca matice nad prvkom 33, Ak to chcete urobiť, pridajte riadok 2 do riadku trikrát −4/3:

Vylúčte prvky druhého stĺpca matice nad prvkom 22, Ak to chcete urobiť, pridajte riadok 1 do riadku 2 krát 3/4:

Vydeľte každý riadok matice zodpovedajúcim vodiacim prvkom (ak vedúci prvok existuje):

Odpoveď. Priesečník čiary L1 a L2 má nasledujúce súradnice:

Príklad 2. Nájdite priesečník čiar L1 a L2:

(31)
(32)

Dáme parametrickú rovnicu priamky L1 do kanonickej podoby. Parameter t vyjadrujeme ako zvyšné premenné:

Z vyššie uvedených rovníc dostaneme kanonickú rovnicu priamky:

(33)

Predstavujeme rovnicu (33) vo forme dvoch rovníc:

(34)
(35)

Robíme krížové násobenie v rovniciach (34 a (35)):

Otvorte zátvorky a preložte premenné na ľavú stranu rovníc a zostávajúce prvky na pravú stranu:

(36)
.(37)

To isté urobíme s rovnicou (2).

Predstavujeme rovnicu (2) vo forme dvoch rovníc:

(38)
(39)

Krížové násobenie v rovniciach (38) a (39)

Otvorte zátvorky a preložte premenné na ľavú stranu rovníc a zostávajúce prvky na pravú stranu:

Systém lineárnych rovníc (36), (37), (40), (41) riešime tromi neznámymi x, y, z, Predstavte si tento systém vo forme maticovej rovnice:

(42)

Relatívne riešime systém lineárnych rovníc (42) x, y, z, Na vyriešenie systému zostavíme rozšírenú maticu:

Označte ij prvky jariadok a jstĺpec.

Prvá etapa. Priamy kurz Gaussa.

Vylúčte prvky prvého stĺpca matice pod prvkom 1 1, Ak to chcete urobiť, pridajte riadok 3 do riadku 1-krát 1: 6:

Vylúčte prvky druhého stĺpca matice pod prvkom 22, Ak to chcete urobiť, pridajte riadky 3 a 4 do riadku 2-krát 8/21 a −1/7, v tomto poradí:

Vylúčte prvky tretieho stĺpca matice pod prvkom33, Ak to chcete urobiť, pridajte riadok 4 do riadku trikrát -1/16:

Z rozšírenej matice rekonštruujeme posledný systém lineárnych rovníc:

(43)

Rovnica (43) je nekompatibilná, pretože čísla neexistujú x, y, z vyhovujúca rovnica (43). Systém lineárnych rovníc (42) preto nemá riešenie. Potom rovno L1 a L2 nepretínajú sa. To znamená, že sú buď rovnobežné, alebo skrížené.

rovno L1 má smerový vektor q1= <2,6,7> a čiara L2 má smerový vektor q2= <3,1,1>. Tieto vektory nie sú kolineárne. Preto priamo L1 a L2 krížiť.

Pin
Send
Share
Send
Send