Užitočné tipy

Iracionálna rovnica: učenie sa riešiť metódou samoty koreňov

Pin
Send
Share
Send
Send


  • Ako riešiť rovnice s koreňmi
  • Ako riešiť iracionálne rovnice
  • Ako vyriešiť iracionálnu rovnicu

Na rozdiel od iných typov rovníc, napríklad kvadratických alebo lineárnych systémov rovníc, neexistuje štandardný algoritmus na riešenie rovníc s koreňmi alebo presnejšie s iracionálnymi rovnicami. V každom konkrétnom prípade je potrebné zvoliť najvhodnejšiu metódu riešenia založenú na „vzhľade“ a vlastnostiach rovnice.

Zvyšovanie častí rovnice na rovnakú úroveň.

Najčastejšie sa na riešenie rovníc s koreňmi (iracionálne rovnice) používa zvýšenie oboch strán rovnice na rovnaký stupeň. Spravidla do stupňa, ktorý sa rovná stupňu koreňa (druhá mocnina pre druhú odmocninu, kocka pre kubický koreň). Malo by sa pamätať na to, že keď zdvihne ľavú a pravú stranu rovnice na rovnakú úroveň, môže mať „extra“ korene. Preto by sa v tomto prípade mali získané korene skontrolovať ich nahradením do rovnice. Pri riešení rovníc so štvorcovými (párnymi) koreňmi by sa mala venovať osobitná pozornosť oblasti prípustných hodnôt premennej (ODZ). Niekedy postačuje samotný odhad ODZ na vyriešenie alebo podstatné zjednodušenie rovnice.

Príklad. Riešenie rovnice:

Zarovnávame obe strany rovnice:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², odkiaľ postupne dostávame:

Pri riešení získanej kvadratickej rovnice nájdeme jej korene:

Nahradením oboch nájdených koreňov do pôvodnej rovnice získame správnu rovnosť. Preto sú obe čísla riešením rovnice.

Metóda zavedenia novej premennej.

Niekedy je vhodnejšie nájsť korene „rovnice s koreňmi“ (iracionálna rovnica) zavedením nových premenných. V skutočnosti je podstata tohto spôsobu redukovaná na kompaktnejší záznam riešenia, t.j. Namiesto písania objemného výrazu je nahradený legendou.

Príklad. Vyriešte rovnicu: 2x + √x-3 = 0

Túto rovnicu môžete vyriešiť zarovnaním oboch strán. Samotné výpočty však budú vyzerať dosť ťažkopádne. Pri zavádzaní novej premennej sa rozhodovací proces ukáže byť oveľa elegantnejší:

Zaviedli sme novú premennú: y = √ x

Potom dostaneme obyčajnú kvadratickú rovnicu:

2y² + y-3 = 0, s premennou y.

Pri riešení výslednej rovnice nájdeme dva korene:

nahradením nájdených koreňov vo výraze za novú premennú (y) získame:

Keďže druhá odmocnina nemôže byť záporné číslo (ak sa nedotknete oblasti zložitých čísel), dostaneme jediné riešenie:

Riešenie iracionálnej rovnice

Budeme sa zaoberať našou iracionálnou rovnicou danou na samom začiatku tejto hodiny. Tu je koreň už osamelý: naľavo od znamienka rovnosti nie je nič iné ako koreň. Zarovnávame obe strany:

2 x 2 - 14 x + 13 = (5 - x) 2
2 x 2 - 14 x + 13 = 25 - 10 x + x 2
x 2 - 4 x - 12 = 0

Získanú kvadratickú rovnicu riešime diskriminačným spôsobom:

D = b2 - 4 ac = (−4) 2 - 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6, x 2 = −2

Zostáva iba nahradiť tieto čísla v pôvodnej rovnici, t. spustiť kontrolu. Tu však môžete urobiť správne kroky na zjednodušenie konečného rozhodnutia.

Kde môžem vyriešiť rovnicu s koreňmi online riešiteľa?

Rovnicu môžete vyriešiť na našej webovej stránke https://pocketteacher.ru. Bezplatný online riešiteľ vám umožňuje riešiť rovnicu online akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Jediné, čo musíte urobiť, je len zadať svoje údaje do riešiteľa. Môžete si tiež pozrieť inštruktážne video a naučiť sa, ako riešiť rovnicu na našom webe. A ak máte ďalšie otázky, môžete sa ich spýtať v našej skupine Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pripojte sa k našej skupine, vždy vám radi pomôžeme.

Naša umelá inteligencia rieši komplexné matematické problémy za pár sekúnd.

Vaše kontroly, domáce úlohy, olympiády vyriešime podrobnými krokmi. Zostáva iba prepísať v notebooku!

Ako zjednodušiť riešenie

Zamyslime sa: prečo robíme kontrolu na konci riešenia iracionálnej rovnice? Chceme sa ubezpečiť, že pri nahradzovaní našich koreňov bude nezáporné číslo vpravo od znamienka rovnosti. Koniec koncov, už vieme s istotou, že presne nezáporné číslo je vľavo, pretože aritmetický druhú odmocninu (kvôli ktorej sa naša rovnica nazýva iracionálna) podľa definície nemôže byť menšia ako nula.

Preto musíme iba skontrolovať, či funkcia g (x) = 5 - x, ktorá je vpravo od znamienka rovnosti, je nezáporná:

V tejto funkcii nahradíme svoje korene a získame:

g (x 1) = g (6) = 5 - 6 = -1 g (x 2) = g (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7> 0

Z získaných hodnôt vyplýva, že koreň x 1 = 6 sa nám nehodí, pretože pri nahradení na pravú stranu pôvodnej rovnice dostaneme záporné číslo. A tu je koreň x 2 = −2 je pre nás celkom vhodné, pretože:

  1. Tento koreň je riešením kvadratickej rovnice získanej vztýčením oboch strán iracionálna rovnica na námestí.
  2. Pravá strana pôvodnej iracionálnej rovnice pri nahradzovaní koreňa x 2 = −2 sa zmení na kladné číslo, t. rozsah hodnôt aritmetického koreňa nie je narušený.

To je celý algoritmus! Ako vidíte, riešenie rovníc s radikálmi nie je také ťažké. Hlavnou vecou je nezabudnúť skontrolovať prijaté korene, inak je veľmi pravdepodobné, že dostanete ďalšie odpovede.

Pin
Send
Share
Send
Send