Užitočné tipy

Paralelné čiary, znaky a podmienky rovnobežných čiar

Pin
Send
Share
Send
Send


1. Ak sú dve čiary rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné:

2. Ak sú dve čiary kolmé na tretiu čiaru, sú rovnobežné:

Zostávajúce znaky rovnobežných čiar sú založené na uhloch vytvorených vtedy, keď tieto dve priamky pretína tretiu.

3. Ak je súčet vnútorných jednostranných uhlov 180 °, sú čiary rovnobežné:

4. Ak sú príslušné uhly rovnaké, sú čiary rovnobežné:

5. Ak sú vnútorné uhly ležiace priečne rovnaké, sú čiary rovnobežné:

Vlastnosti rovnobežných čiar

Vyhlásenia, ktoré sa odvolávajú na znaky rovnobežných čiar, sú ich vlastnosťami. Sú založené na vlastnostiach uhlov vytvorených priesečníkom dvoch rovnobežných čiar tretej línie.

1. Na priesečníku dvoch rovnobežných priamok tretej priamky sa súčet vnútorných jednostranných uhlov, ktoré tvoria, rovná 180 °:

2. Na priesečníku dvoch rovnobežných čiar tretej línie sa zodpovedajúce uhly, ktoré tvoria, rovnajú:

3. Na priesečníku dvoch rovnobežných čiar tretej línie sú uhly nimi vytvorené priečne rovné:

Nasledujúca nehnuteľnosť je zvláštnym prípadom pre každú predchádzajúcu:

4. Ak je čiara v rovine kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je kolmá na druhú:

Piata vlastnosť je axiom rovnobežných čiar:

5. Bodom, ktorý leží na tejto priamke, môžete nakresliť iba jednu priamku rovnobežnú s touto čiarou:

Paralelné čiary - základné informácie.

Najskôr si pripomenieme definície rovnobežných čiar, ktoré boli v článkoch uvedené priamkou v rovine a priamkou v priestore.

Nazývajú sa dve čiary v rovine paralelnéak nemajú spoločné body.

Nazývajú sa dve čiary v trojrozmernom priestore paralelnéak ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body.

Upozorňujeme, že v definícii rovnobežných čiar v priestore je veľmi dôležitá doložka „ak sú na rovnakej rovine“. Vysvetlite tento bod: dve čiary v trojrozmernom priestore, ktoré nemajú spoločné body a nekryjú sa v rovnakej rovine, nie sú rovnobežné, ale sú prekrížené.

Tu je niekoľko príkladov paralelných čiar. Protiľahlé okraje listu prenosného počítača ležia na paralelných linkách. Rovné čiary, pozdĺž ktorých rovina steny domu pretína roviny stropu a podlahy, sú rovnobežné. Za rovnobežné trate sa môžu považovať aj železničné koľajnice v rovinatom teréne.

Na označenie rovnobežných čiar použite symbol „“. To znamená, že ak sú línie a a b rovnobežné, potom je možné krátko zapísať písmeno b.

Poznámka: Ak sú priamky aab paralelné, potom môžeme povedať, že priamka a je rovnobežná s priamkou b, a tiež, že priamka b je rovnobežná s priamkou a.

Urobme vyhlásenie, ktoré hrá dôležitú úlohu pri štúdiu rovnobežných priamok v rovine: cez bod, ktorý leží na danej priamke, prechádza jediná priamka rovnobežná s touto priamkou. Toto tvrdenie je akceptované ako skutočnosť (nedá sa dokázať na základe známych axiómov planimetrie) a nazýva sa axiom rovnobežných čiar.

Pre prípad v priestore platí nasledujúca veta: cez akýkoľvek bod v priestore, ktorý leží na danej čiare, prechádza jedinečná čiara rovnobežná s danou čiarou. Táto veta sa dá ľahko dokázať pomocou vyššie uvedenej axiómy rovnobežných čiar (jej dôkaz nájdete v učebnici geometrie 10-11 trieda, ktorá je uvedená na konci článku v zozname odkazov).

Pre prípad v priestore platí nasledujúca veta: cez akýkoľvek bod v priestore, ktorý leží na danej čiare, prechádza jedinečná čiara rovnobežná s danou čiarou. Táto veta sa dá ľahko dokázať pomocou vyššie uvedenej axiómy rovnobežných čiar.

Paralelizmus - znaky a podmienky paralelizmu.

Znak rovnobežných čiar je postačujúcou podmienkou pre paralelné línie, to je taká podmienka, ktorej splnenie zaručuje paralelné línie. Inými slovami, splnenie tejto podmienky stačí na to, aby sa uviedlo, že čiary sú rovnobežné.

Sú tiež potrebné a dostatočné podmienky pre rovnobežnosť čiar v rovine av trojrozmernom priestore.

Vysvetlite význam vety „nevyhnutná a dostatočná podmienka pre paralelné línie“.

S dostatočnou podmienkou pre paralelné čiary sme už na to prišli. Aká je však „nevyhnutná podmienka pre paralelné vedenia“? Z názvu „nevyhnutné“ je zrejmé, že splnenie tejto podmienky je nevyhnutné pre rovnobežné čiary. Inými slovami, ak nie je splnená nevyhnutná podmienka pre rovnobežnosť čiar, potom nie sú čiary rovnobežné. Týmto spôsobom nevyhnutná a dostatočná podmienka pre paralelné vedenia Je stav, ktorého splnenie je nevyhnutné a zároveň dostatočné pre paralelné línie. To je na jednej strane to znamenie rovnobežných čiar a na druhej strane je to vlastnosť, ktorú majú rovnobežné čiary.

Pred formulovaním nevyhnutných a dostatočných podmienok pre paralelné čiary je vhodné si spomenúť na niekoľko pomocných definícií.

Secant line Je čiara, ktorá pretína každú z dvoch nesprávnych čiar.

Na priesečníku dvoch priamych secantov sa vytvorí osem nerozvinutých uhlov. Pri formulácii nevyhnutných a dostatočných podmienok pre paralelné línie, tzv ležiaci kríž, zodpovedajúci a jednostranné rohy, Zobraziť ich vo výkrese.

Ak sa dve priamky v rovine pretína septom, je pre ich rovnobežnosť potrebné a postačujúce, aby ležiace uhly boli rovnaké alebo zodpovedajúce uhly alebo súčet jednostranných uhlov rovný 180 stupňom.

Ukazujeme grafické znázornenie tejto nevyhnutnej a dostatočnej podmienky pre paralelné čiary v rovine.

Dôkazy o podmienkach týchto paralelných čiar nájdete v učebniciach geometrie pre stupne 7 - 9.

Všimnite si, že tieto podmienky je možné použiť aj v trojrozmernom priestore - hlavná vec je, že tieto dve čiary a sečka ležia v rovnakej rovine.

Uvádzame niekoľko ďalších teorémov, ktoré sa často používajú pri dokazovaní paralelných línií.

Ak sú dve roviny v rovine rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné. Dôkaz tohto znaku vyplýva z axióma rovnobežných čiar.

Podobná podmienka existuje pre paralelné línie v trojrozmernom priestore.

Ak sú dve čiary v priestore rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné. Dôkaz tejto vlastnosti sa berie do úvahy pri hodinách geometrie v 10. ročníku.

Ilustrujeme vyjadrené vety.

Dáme ešte jednu vetu, ktorá nám umožňuje dokázať rovnobežnosť čiar v rovine.

Ak sú dve roviny v rovine kolmé na tretiu líniu, potom sú rovnobežné.

Podobná veta je pre riadky vo vesmíre.

Ak sú dve čiary v trojrozmernom priestore kolmé na jednu rovinu, potom sú rovnobežné.

Reprezentujeme čísla zodpovedajúce týmto vetám.

Všetky vyššie uvedené vety, vlastnosti a nevyhnutné a postačujúce podmienky sú dokonale vhodné na preukázanie rovnobežnosti čiar geometrickými metódami. To znamená, že na preukázanie rovnobežnosti dvoch daných čiar je potrebné preukázať, že sú rovnobežné s treťou čiarou, alebo ukázať rovnosť uhlov ležania atď. Mnoho podobných problémov sa rieši v hodinách geometrie na strednej škole. Malo by sa však poznamenať, že v mnohých prípadoch je vhodné použiť metódu súradníc na preukázanie rovnobežnosti čiar v rovine alebo v trojrozmernom priestore. Vytvárame potrebné a dostatočné podmienky pre rovnobežnosť priamok, ktoré sú špecifikované v pravouhlom súradnicovom systéme.

Paralelizmus priamok v pravouhlom súradnicovom systéme.

Ak je v rovine špecifikovaný pravouhlý kartézsky súradnicový systém, rovná priamka v tomto súradnicovom systéme je určená rovnicou priamky v rovine nejakého druhu. Podobne priama čiara v pravouhlom súradnicovom systéme v trojrozmernom priestore definuje niektoré rovnice priamky v priestore.

V tomto odseku článku formulujeme potrebné a dostatočné podmienky pre paralelné vedenia v pravouhlom súradnicovom systéme v závislosti od typu rovníc definujúcich tieto priamky a tiež poskytujú podrobné riešenia typických problémov.

Začneme podmienkou rovnobežnosti dvoch čiar v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy. Základom jeho dôkazu je definícia smerovacieho vektora priamky a definícia normálneho vektora priamky v rovine.

Pre rovnobežnosť dvoch nezhodných čiar v rovine je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory týchto priamok boli kolineárne alebo normálne vektory týchto priamok boli kolineárne, alebo aby smerový vektor jednej priamky bol kolmý na normálny vektor druhej priamky.

Je zrejmé, že podmienka rovnobežnosti dvoch priamok v rovine sa znižuje na stav kolinearity dvoch vektorov (smerovacie vektory priamok alebo normálne priame vektory) alebo na podmienku kolmosti dvoch vektorov (smerujúci vektor jednej priamky a normálny vektor druhej priamky). Ak teda sú smerovými vektormi priamok a a b, a sú normálnymi vektormi priamok a a b, potom nevyhnutná a dostatočná podmienka pre rovnobežnosť riadkov aab je zapísaná ako alebo, alebo, kde t je nejaké skutočné číslo. Súradnice vodičov a (alebo) normálnych vektorov priamok a a b sú zase nájdené zo známych rovníc priamok.

Najmä ak priama čiara a v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy v rovine definuje všeobecnú rovnicu priamky a priamky b -, potom normálne vektory týchto priamok majú súradnice, respektíve a podmienky rovnobežnosti pre priamky aab môžu byť zapísané ako.

Ak priamka a zodpovedá rovnici priamky s uhlovým koeficientom tvaru a priamke b -, potom majú normálne vektory týchto priamok súradnice a a pre tieto priamky sa získa paralelná podmienka. Preto, ak sú priamky v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme rovnobežné a môžu byť definované rovnicami priamok s uhlovými koeficientmi, uhlové koeficienty priamok budú rovnaké. A naopak: ak sa zhodné čiary v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme môžu definovať rovnicami priamky s rovnakými uhlovými koeficientmi, potom sú tieto čiary rovnobežné.

Ak priamka a a priamka b v pravouhlom súradnicovom systéme určujú kanonické rovnice priamky v rovine pohľadu a / alebo parametrické rovnice priamky v rovine pohľadu a respektíve potom smerové vektory týchto priamok majú súradnice a podmienka rovnobežnosti priamok a a b je zapísaná ako.

Pozrime sa na riešenie niekoľkých príkladov.

Sú čiary a rovnobežné?

Rovnicu priamky prepíšeme do segmentov ako všeobecnú rovnicu priamky :. Teraz vidíme, že je to normálny vektor čiary a je to normálny vektor čiary. Tieto vektory nie sú kolineárne, pretože neexistuje skutočné číslo t, pre ktoré platí rovnosť (). Z tohto dôvodu nie je splnená nevyhnutná a dostatočná podmienka pre rovnobežnosť čiar v rovine, a preto dané čiary nie sú rovnobežné.

nie, čiary nie sú rovnobežné.

Sú priame a rovnobežné?

Prinášame kanonickú rovnicu priamky do rovnice priamky s uhlovým koeficientom :. Je zrejmé, že rovnice priamok nie sú rovnaké (v tomto prípade by dané čiary boli rovnaké) a uhlové koeficienty čiar sú rovnaké, preto pôvodné čiary sú rovnobežné.

Druhý spôsob riešenia.

Najprv ukážeme, že pôvodné čiary sa nezhodujú: vezmite bod na čiare, napríklad (0, 1), súradnice tohto bodu nespĺňajú rovnicu čiary, preto sa čiary nezhodujú. Teraz skontrolujeme, či sú splnené tieto podmienky. Normálny vektor priamky je vektor a smerujúci vektor priamky je vektor. Vypočítame skalárny súčin vektorov a: V dôsledku toho sú vektory a kolmé, čo znamená, že sú splnené potrebné a dostatočné podmienky pre rovnobežnosť daných čiar. Čiary sú teda rovnobežné.

dané čiary sú rovnobežné.

Na preukázanie rovnobežnosti čiar v pravouhlom súradnicovom systéme v trojrozmernom priestore sa používa nasledujúca nevyhnutná a dostatočná podmienka.

Pre rovnobežnosť nesúladných čiar v trojrozmernom priestore je potrebné a postačujúce, aby ich vodiace vektory boli kolineárne.

Ak sú teda známe rovnice priamok v pravouhlom súradnicovom systéme v trojrozmernom priestore a musíte zodpovedať otázku, či sú tieto čiary rovnobežné alebo nie, musíte nájsť súradnice smerových vektorov týchto čiar a overiť, či je splnená podmienka kolinearity smerových vektorov. Inými slovami, ak sú smerovými vektormi priamok a a b, potom pre rovnobežnosť priamok a a b je potrebné a postačujúce, že existuje skutočné číslo t, pre ktoré platí.

Pri riešení príkladu sa budeme zaoberať stavom paralelných čiar v priestore.

Dokážte rovnobežnosť čiar a.

Dostali sme kanonické rovnice priamky v zobrazovacom priestore a parametrické rovnice priamky v zobrazovacom priestore. Smerové vektory a dané čiary majú súradnice a. Od tej doby. Tým je splnená nevyhnutná a dostatočná podmienka pre paralelizmus dvoch čiar v priestore. Toto dokazuje paralelizmus línií a.

Pin
Send
Share
Send
Send