Užitočné tipy

Súčet vety uhlov trojuholníka

Pin
Send
Share
Send
Send


sekcia: matematika

V tomto článku sa zaoberám jedným zo spôsobov, ako zlepšiť kognitívnu aktivitu školákov a zvýšiť úroveň ich logického myslenia: deťom kladieme problém nájsť rôzne spôsoby, ako dokázať tú istú vetu, pomocou príkladov ukážeme, ako sa to robí.

Ale ako povzbudiť študentov k tomu, aby nezávisle hľadali rôzne spôsoby preukázania teorémov, ako zorganizovať primeranú prácu so študentmi v triede a pri mimoškolských aktivitách. Toto je obzvlášť dôležité v počiatočnej fáze štúdia geometrie v 7. ročníku - ponoriť sa do vedomia detí, že je potrebné hľadať nové dôkazy. Túto zručnosť opravujeme v ďalších fázach štúdia geometrie.

Najprv preskúmame dôkazy niektorých teórií rôznymi spôsobmi.

Súčet vety uhlov trojuholníka

vyhlásenie: súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180 °.

dôkaz:

Z bokov uhlu ICA vyňali uhly, ktoré sa rovnajú uhlom A a B: z lúča CA sa v tejto polovici roviny uvoľní uhol rovný A vzhľadom na priamku CA, ktorá neobsahuje bod B (obr. 1). Je potrebné dokázať, že uhol NСM je rovný 180 °, t. je nasadený.

Z rovnosti vnútorných uhlov ležania A a MCA vyplýva paralelizmus priamok SM a AB. Podobne vidíme, že CN ║ AB.

Na základe paralelnej axiómy sme dospeli k záveru, že priame čiary SM a CN sa zhodujú. Preto ∟МСN = 180 ° a obsahuje súčet všetkých troch vnútorných uhlov trojuholníka.

Nakreslite AC lúč a CF lúč rovnobežne s AB. ∟A = ∟DCF ako pre rovnobežné vedenia CF a AB a secant AC.

∟В = ∟BCF ako vnútorné kríže ležiace s rovnobežnými priamkami CF a АВ a secantových lietadiel. ∟ACD = 180º, pretože tento uhol sa odvíja, čo znamená: ∟А + ∟В + ∟С = 180 °.

Nakreslite lúče slnka a reproduktorov a nakreslite SM ║ AB. ∟DCF = ∟ACB ako vertikálna, ∟A = ∟FCM zodpovedajúca paralelným čiaram CM a AB a oddeleným striedavým prúdom. ∟В = ∟MCB ako vnútorné kríže ležiace s rovnobežnými čiarami CM a AB a secantové lietadlá. ∟ DCB = 180 °, pretože tento uhol je rozvinutý. Ukázalo sa však, že tento rozvinutý uhol sa rovná súčtu troch vnútorných uhlov trojuholníka, čo znamená: +А + ∟В + ∟С = 180 °.

Nakreslite SM М VA. ∟A = ∟MCA ako vnútorný kríž ležiaci v SM при VA a secant AC. ∟ВСМ = ∟А + ∟С. +ВСМ + ∟В = 180º, pretože tieto rohy sú vnútorné jednostranné s rovnobežnými priamkami CM a VA a secantové lietadlá, čo znamená: +А + ∟В + ∟С = 180 °.

Veta o závislosti uhlov trojuholníka na jeho stranách

vyhlásenie: v trojuholníku oproti väčšej strane leží väčší uhol.

dôkaz:

Zvážte prípad, keď je položka in ABC AC> AB. Stanovili sme cieľ dokázať, že ∟С ∟ADM = ∟АЕМ> ∟С as (aplikovali sme vlastnosti vonkajších uhlov ∆ MVD a ∆ СЕМ). Preto ∟B> ∟C.

Kolmice BT a CI k AM lúču môžete vynechať (obr. 7).

Potom sa ukáže, že ∟ABT = ∟ACI, >В> ∟ АВТ = ∟ACI> ∟С.
Takže, >В> ∟С. Veta je dokázaná.

Tri kolmé vety (priame a inverzné)

Výrok (priama veta): ak priama čiara nakreslená v rovine cez základňu šikmého smeru je kolmá na jej priemet, potom je kolmá na najviac naklonenú.

dôkaz:

Metóda I:
(Dôkaz o priamej vete)

Nech ┴ OA Predpokladajme, že SA nie je kolmá na čiaru t. Nakreslite SB ┴ t, potom SA> SB. Z pravouhlých trojuholníkov SOA a SOB: OA2 = SA2 - S02, OB2 = SB2 - S02. Dostávame: OA> OB. Medzitým, OA 3) sa súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka vypočíta podľa vzorca 180 ° (k -2). Na získanie (k + 1) -gónu z k-gónu stačí „lomiť“ jednu zo strán a bez straty konvexnosti pridať dve prerušované čiary, potom sa k súčtu vnútorných uhlov minulého k-gónu (pre uhly ∆ABC) pridá 180 °.
180 ° (k -2) + 180 ° = 180 ° - 360 ° + 180 ° = 180 ° ((k + 1) - 2). Vyhlásenie pre n = k + 1 je preukázané. Podľa zásady matematickej indukcie platí toto tvrdenie pre každé prirodzené číslo n, najmenej tri. Veta je dokázaná.

Druhá skupina študentov vykonáva dôkaz vety tým, že kreslí uhlopriečky vychádzajúce z jedného vrcholu. Chlapci si všimli, že ak n je počet strán konvexného mnohouholníka, potom (n - 2) je počet vytvorených trojuholníkov. A pretože súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180 °, potom súčet vnútorných uhlov konvexného n-gónu je 180 ° (n -2).

Tretia skupina detí nájde dôkaz o vete, ktorá rozdeľuje polygón na n trojuholníky so spoločným vrcholom vo vnútornej oblasti. Súčet vnútorných uhlov konvexného n-gónu je 180 ° - 360 ° = 180 ° (n -2).

Nakoniec štvrtá skupina študentov, ktorí študujú obr. 12 a dokončujú ďalší obr. 13 (nakreslíme rohy s príslušne rovnobežnými stranami pre uhly с1 až ∟6), dospieva k záveru: súčet vnútorných uhlov konvexného n-gónu je 180 ° - 360 ° = 180 ° (n -2).

Po predbežnej príprave predstavitelia každej skupiny vo výbore preukážu triede nájdený dôkaz vety.

Ukázalo sa, že skutočná oslava vedomostí!

Prispôsobením študentov nezávislému vyhľadávaniu dôkazov, podporovaním ich práce týmto smerom (aj keď sú nájdené dôkazy komplikovanejšie ako tie známe), je možné získať spoľahlivejšie a hlbšie vedomosti a pomôcť zvýšiť záujem o predmet.

obsah

Z vety vyplýva, že každý trojuholník má aspoň dva ostré uhly. Naozaj, pri použití dôkazu v rozpore, predpokladajme, že trojuholník má iba jeden ostrý uhol alebo žiadne ostré uhly. Tento trojuholník má potom najmenej dva uhly, z ktorých každý je najmenej 90 °. Súčet týchto uhlov nie je menší ako 180 °. A to nie je možné, pretože súčet všetkých uhlov trojuholníka je 180 °.

Medzi dihedrálnymi uhlami ľubovoľného simplexu je zložitejší vzťah. Konkrétne, ak L i j < displaystyle L_> Je uhol medzi plochami i a j simplexu, potom determinant nasledujúcej matice (ktorá je obežníkom) je 0:

Druhy najväčších uhlov

Rozlišujú sa tieto typy mnohouholníka s tromi vrcholmi:

  • ostré, v ktorých sú všetky uhly ostré,
  • pravouhlý, ktorý má jeden pravý uhol, zatiaľ čo strany, ktoré ho tvoria, sa nazývajú nohy, a strana, ktorá je oproti pravému uhlu, sa nazýva prepona,
  • tupý, keď je tupý roh,
  • rovnoramenné, v ktorých sú obe strany rovnaké a nazývajú sa bočné a tretia - základňa trojuholníka,
  • rovnostranný, ktorý má všetky tri rovnaké strany.

Hlavné vlastnosti, ktoré sú charakteristické pre každý typ trojuholníka, sa rozlišujú:

  • oproti väčšej strane je vždy väčší uhol a naopak,
  • opačné uhly rovnakej veľkosti sú rovnaké uhly a naopak
  • akýkoľvek trojuholník má dva ostré rohy,
  • vonkajší roh je väčší ako akýkoľvek vnútorný roh, ktorý k nemu neprilieha,
  • súčet akýchkoľvek dvoch uhlov je vždy menší ako 180 stupňov,
  • vonkajší uhol sa rovná súčtu zostávajúcich dvoch uhlov, ktoré do neho nezasahujú.

Súčet vety uhlov trojuholníka

Veta tvrdí, že ak spočítate všetky uhly daného geometrického útvaru, ktorý sa nachádza v euklidovskej rovine, ich súčet bude 180 stupňov. Pokúsme sa dokázať túto vetu.

Budeme mať ľubovoľný trojuholník s vrcholmi KMN.

Z vyššie uvedenej vety vyplýva nasledujúci dôsledok: akýkoľvek trojuholník má dva ostré uhly. Aby ste to dokázali, predpokladajme, že daný geometrický útvar má iba jeden ostrý uhol. Dá sa tiež predpokladať, že žiadny z uhlov nie je ostrý. V tomto prípade musia existovať najmenej dva uhly, ktorých hodnota je rovná alebo väčšia ako 90 stupňov. Súčet uhlov však bude viac ako 180 stupňov. To však nemôže byť, pretože podľa vety je súčet uhlov trojuholníka 180 ° - nič viac a nič menej. To sa muselo dokázať.

Vlastnosť mimo rohu

Aký je súčet uhlov vonkajšieho trojuholníka? Odpoveď na túto otázku je možné získať použitím jednej z dvoch metód. Prvým je, že je potrebné nájsť súčet uhlov, ktoré sú brané po jednom v každom vrchole, tj tri uhly. Druhý znamená, že musíte nájsť súčet všetkých šiestich uhlov vo vrcholoch. Najprv sa budeme venovať prvej možnosti. Trojuholník teda obsahuje šesť vonkajších rohov - v každom vrchole dva.

Ďalej je známe, že vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré do neho nezasahujú. preto,

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

Z toho vyplýva, že súčet vonkajších rohov, ktoré sú brané jeden po druhom blízko každého vrcholu, sa bude rovnať:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).

Vzhľadom na to, že súčet uhlov je 180 stupňov, možno tvrdiť, že ∟A + ∟B + ∟C = 180 °. To znamená, že ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Ak sa použije druhá možnosť, súčet šiestich rohov bude dvakrát väčší. To znamená, že súčet vonkajších uhlov trojuholníka bude:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (+1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

Pravý trojuholník

Aký je súčet uhlov pravouhlého trojuholníka, ktorý je ostrý? Odpoveď na túto otázku opäť vyplýva z vety, v ktorej sa uvádza, že uhly v trojuholníku sa zvyšujú až o 180 stupňov. A naše vyhlásenie (vlastnosť) znie takto: v pravom trojuholníku zvyšujú ostré uhly až 90 stupňov. Dokážme jeho pravdivosť.

Takže podľa vety o súčte uhlov ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °. Náš stav hovorí, že сказаноН = 90 °. Ukázalo sa teda, +К + ∟М + 90 ° = 180 °. To znamená, ∟К + ∟М = 180 ° - 90 ° = 90 °. To sme mali dokázať.

Okrem vyššie popísaných vlastností pravouhlého trojuholníka môžete pridať aj nasledujúce položky:

  • uhly, ktoré ležia na nohách, sú ostré,
  • prepona trojuholníka je väčšia ako ktorákoľvek z nôh,
  • súčet nôh je väčší ako prepona,
  • noha trojuholníka, ktorá leží oproti uhlu 30 stupňov, je polovicou prepony, tj rovná sa jej polovici.

Ako ďalšiu vlastnosť tohto geometrického útvaru môžeme rozlíšiť Pythagorovu vetu. Tvrdí, že v trojuholníku s uhlom 90 stupňov (pravouhlý) je súčet štvorcov nôh rovný štvorcu prepony.

Súčet uhlov rovnoramenného trojuholníka

Už sme povedali, že mnohouholník s tromi vrcholmi, ktorý obsahuje dve rovnaké strany, je rovnoramenný. Táto vlastnosť tohto geometrického útvaru je známa: uhly na jeho základni sú rovnaké. Dokážme to.

Zoberte trojuholník KMN, ktorý je rovnoramenný, KN - jeho základňu.

Zaujíma nás však, aký je súčet uhlov trojuholníka (rovnoramenných). Pretože v tomto ohľade nemá svoje vlastné charakteristiky, vychádzame z predtým zvažovanej vety. To znamená, že môžeme povedať, že ∟К + ∟М + ∟Н = 180 ° alebo 2 х ∟К + ∟М = 180 ° (od ∟К = ∟Н). Túto vlastnosť nebudeme dokázať, pretože veta o súčte uhlov trojuholníka bola dokázaná už skôr.

Okrem uvažovaných vlastností o uhloch trojuholníka existujú aj také dôležité výroky:

  • v rovnoramennom trojuholníku je výška, ktorá bola znížená k základni, zároveň stredná hodnota, stredná čiara uhlu, ktorá je medzi rovnakými stranami, ako aj os symetrie jej základne,
  • mediány (bisektory, výšky), ktoré sú nakreslené po stranách takého geometrického útvaru, sú rovnaké.

Rovnostranný trojuholník

Nazýva sa tiež pravidelný, je to trojuholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké. Preto sú uhly rovnaké. Každá z nich je 60 stupňov. Dokážme túto vlastnosť.

Predpokladajme, že máme trojuholník KMN. Vieme, že KM = NM = KN. A to znamená, že podľa vlastnosti uhlov umiestnených na základni v rovnoramennom trojuholníku ∟К = ∟М = ∟Н. Pretože podľa vety je súčet uhlov trojuholníka ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °, potom 3 x ∟К = 180 ° alebo ∟К = 60 °, ∟М = 60 °, ∟Н = 60 °. Toto tvrdenie je teda dokázané.

Existujú aj také vlastnosti, ktoré sú charakteristické pre rovnostranný trojuholník:

  • stredná hodnota, stredná čiara, výška v takomto geometrickom obrazci sa zhoduje a ich dĺžka sa vypočíta ako (а х √3): 2,
  • ak popíšeme kruh okolo daného mnohouholníka, jeho polomer sa bude rovnať (а х √3): 3,
  • Ak zadáte kruh v rovnostrannom trojuholníku, jeho polomer bude (a x √3): 6,
  • plocha tohto geometrického útvaru sa vypočíta podľa vzorca: (a2 x √3): 4.

Vyhnite sa trojuholníku

Podľa definície tupého trojuholníka je jeden z jeho uhlov v rozmedzí od 90 do 180 stupňov. Ale vzhľadom na to, že ďalšie dva uhly tejto geometrickej figúry sú ostré, môžeme konštatovať, že nepresahujú 90 stupňov. Preto veta o súčte uhlov trojuholníka funguje pri výpočte súčtu uhlov v tupom trojuholníku. Ukázalo sa, že na základe vyššie uvedenej vety môžeme bezpečne povedať, že súčet uhlov trojuholníka s tupým uhlom je 180 stupňov. Táto veta sa opäť nemusí opakovať.

Pin
Send
Share
Send
Send