Užitočné tipy

Grafické riešenie rovníc, nerovnosti

Pin
Send
Share
Send
Send


Jednou z najpohodlnejších metód na riešenie štvorcových nerovností je grafická metóda. V tomto článku budeme skúmať, ako sa štvorcové nerovnosti riešia graficky. Najprv diskutujeme o tom, čo je podstatou tejto metódy. A potom dáme algoritmus a graficky zvážime príklady riešenia štvorcových nerovností.

Navigácia na stránke.

Podstata grafickej metódy

všeobecne grafický spôsob riešenia nerovností s jednou premennou sa používa nielen na riešenie štvorcových nerovností, ale aj nerovností iných typov. Podstata grafickej metódy riešenia nerovností ďalej: zvážte funkcie y = f (x) a y = g (x), ktoré zodpovedajú ľavej a pravej strane nerovnosti, vyneste ich grafy do jedného pravouhlého súradnicového systému a zistite, v ktorých intervaloch je graf jednej z nich umiestnený nižšie alebo vyššie ako druhý. Tie medzery, pri ktorých

  • graf funkcie f nad grafom funkcie g sú riešenia nerovnosti f (x)> g (x),
  • graf funkcie f nie nižší ako graf funkcie g sú riešenia nerovnosti f (x) ≥g (x),
  • graf funkcie f pod grafom funkcie g sú riešenia nerovnosti f (x),
  • graf funkcie f nie vyšší ako graf funkcie g sú riešenia nerovnosti f (x) ≤g (x).

Tiež hovoríme, že osy priesečníkov grafov funkcií fag sú riešením rovnice f (x) = g (x).

Tieto výsledky prevádzame do nášho prípadu - na riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c (≤,>, ≥).

Uvádzame dve funkcie: prvá y = a · x 2 + b · x + c (v tomto prípade f (x) = a · x 2 + b · x + c) zodpovedá ľavej strane štvorcovej nerovnosti, druhá y = 0 (v tomto prípade g (x) = 0) zodpovedá pravej strane nerovnosti. letový poriadok kvadratická funkcia f je parabola a graf trvalá funkcia g je čiara, ktorá sa zhoduje s osou vodorovnej osy Ox.

Ďalej, podľa grafickej metódy riešenia nerovností, je potrebné analyzovať, v ktorých intervaloch je graf jednej funkcie umiestnený nad alebo pod druhou, čo nám umožní zapísať požadované riešenie do štvorcovej nerovnosti. V našom prípade musíme analyzovať polohu paraboly vzhľadom na os Ox.

V závislosti od hodnôt koeficientov a, bac je možné nasledujúcich šesť možností (pre naše potreby postačuje schematické znázornenie a os Oy sa môže vynechať, pretože jeho poloha neovplyvňuje riešenie nerovnosti):



Na tomto výkrese vidíme parabolu, ktorej vetvy sú nasmerované nahor a ktoré pretína os Ox v dvoch bodoch, ktorých os x je x1 a x2 , Tento nákres zodpovedá prípadu, keď je koeficient a kladný (je zodpovedný za smer vetiev paraboly smerom nahor) a keď je kladná hodnota diskriminujúci štvorcovú trojicu a · x 2 + b · x + c (trinomiál má dva korene, ktoré sme označili ako x1 a x2 a prijali sme to x1 , pretože na osi Ox bod s osou x1 naľavo od bodu x2 ). Ak chcete špecifiká, potom zostavte parabolu y = x 2 −x - 6, jej koeficient a = 1> 0, D = b2 −4 · a · c = (- 1) 2 −4 · 1 · (−6) = 25> 0, x1= −2, x2=3 .

Pre lepšiu prehľadnosť popíšeme červenou farbou tie časti paraboly, ktoré sa nachádzajú nad osou abscisa, a modrou farbou - umiestnenou pod osou abscisa.

Teraz zistíme, ktoré medzery zodpovedajú týmto častiam. Nasledujúci obrázok im pomôže určiť (v budúcnosti budeme mentálne čerpať podobné alokácie vo forme obdĺžnikov):

Na osi x sú teda dve medzery zvýraznené červenou farbou (−∞, x1) a (x2, + ∞), na ktorých je parabola vyššia ako os Ox, tvoria riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c> 0 a medzery (x1, x2), má parabolu pod osou Ox, je riešením nerovnosti a · x 2 + b · x + c. Riešenie neadekvátnych štvorcových nerovností a · x 2 + b · x + c≥0 a a · x 2 + b · x + c <0 bude rovnaké intervaly, ale čísla x by mali byť v nich zahrnuté.1 a x2 čo zodpovedá rovnosti a · x 2 + b · x + c = 0.

A teraz stručne: pre a> 0 a D = b2 −4 · a · c> 0 (alebo D '= D / 4> 0 pre párny koeficient b)

  • riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c> 0 je (−∞, x1) ∪ (x2, + ∞) alebo v inom zápise x, x> x2 ,
  • riešením kvadratickej nerovnosti a2+ b · x + c≥0 je (−∞, x1] ∪ [x2, + ∞) alebo v inej notácii x≤x1 , x≥x2 ,
  • riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c je (x1, x2) alebo v inom zázname x1 ,
  • riešenie štvorcovej nerovnosti a · x 2 + b · x + c <0 je [x1, x2] alebo v inom zázname x1≤x≤x2 ,

kde x1 a x2 Sú korene štvorcového trojuholníka a · x 2 + b · x + c a x1 .



Vidíme tu parabolu, ktorej vetvy smerujú nahor a ktorá sa dotýka osi x, tj má s ňou jeden spoločný bod, x označíme túto os x.0 , Tento prípad zodpovedá a> 0 (vetvy smerujú nahor) a D = 0 (trojuholník trojuholník má jedno korene x0 ). Napríklad môžeme vziať kvadratickú funkciu y = x 2 −4 · x + 4, tu a = 1> 0, D = (- 4) 2 −4 · 1,4 = 0 a x0=2 .

Výkres jasne ukazuje, že parabola je umiestnená nad osou Ox všade, s výnimkou bodu dotyku, t. J. V intervaloch (- -, x0), (x0, ∞). Kvôli prehľadnosti vyberieme na výkrese oblasti analogicky s predchádzajúcim odsekom.

Vyvodzujeme závery: pre a> 0 a D = 0

  • riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c> 0 je (−∞, x0) ∪ (x0, + ∞) alebo v inom zápise x ≠ x0 ,
  • riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c≥0 je (−∞, + ∞) alebo v inom zápise x∈R,
  • štvorcová nerovnosť a · x 2 + b · x + c nemá riešenia (neexistujú žiadne intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou Ox),
  • Štvorcová nerovnosť a · x 2 + b · x + c <0 má jedinečné riešenie x = x0 (dáva vám kontaktný bod)

kde x0 je koreň trojuholníka štvorca a · x 2 + b · x + c.



V tomto prípade sú vetvy paraboly nasmerované nahor a nemá spoločné osi s osou x. Tu máme podmienky a> 0 (konáre smerujú nahor) a D (trojuholník štvorca nemá skutočné korene). Napríklad môžeme vyniesť funkciu y = 2 x 2 +1, tu a = 2> 0, D = 0 2 -4,4 2 = 1 = −8.

Je zrejmé, že parabola je umiestnená nad osou Ox po celej svojej dĺžke (nie sú žiadne intervaly, v ktorých je pod osou Ox, neexistuje bod dotyku).

Preto pre a> 0 a D je riešenie štvorcových nerovností a · x 2 + b · x + c> 0 a a · x 2 + b · x + c≥0 množina všetkých reálnych čísel a nerovností a · x 2 + b · x + ca a · x 2 + b · x + c <0 nemajú žiadne roztoky.

A zostávajú tri možnosti umiestnenia paraboly s vetvami smerujúcimi nadol a nie smerom nahor, vzhľadom na os Ox. V zásade ich nemožno brať do úvahy, pretože vynásobenie obidvoch strán nerovnosti koeficientom -1 nám umožňuje prejsť na ekvivalentnú nerovnosť kladným koeficientom na x 2. Stále však nie je na škodu získať predstavu o týchto prípadoch. Zdôvodnenie je podobné, takže píšeme iba hlavné výsledky.



Pre a a D> 0

  • riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c> 0 je (x1, x2) alebo v inom zázname x1 ,
  • riešenie štvorcovej nerovnosti a · x 2 + b · x + c≥0 je [x1, x2] alebo v inom zázname x1≤x≤x2 ,
  • riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c je (−∞, x1) ∪ (x2, + ∞) alebo v inom zápise x, x> x2 ,
  • riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c <0 je (−∞, x1] ∪ [x2, + ∞) alebo v inej notácii x≤x1, x≥x2 ,

kde x1 a x2 Sú korene štvorcového trojuholníka a · x 2 + b · x + c a x1 .



Pre a a D = 0

  • štvorcová nerovnosť a · x 2 + b · x + c> 0 nemá riešenia,
  • Štvorcová nerovnosť a · x 2 + b · x + c≥0 má jedinečné riešenie x = x0 ,
  • riešenie nerovnosti a · x 2 + b · x + c je (−∞, x0) ∪ (x0, + ∞) alebo v inom zápise x ≠ x0 ,
  • riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c <0 je množina všetkých reálnych čísel (−∞, + ∞) alebo v inom zápise x∈R,

kde x0 je koreň trojuholníka štvorca a · x 2 + b · x + c.



Pre a a D nemajú štvorcové nerovnosti a · x 2 + b · x + c> 0 a a · x 2 + b · x + c≥0 žiadne riešenia a riešením nerovností a · x 2 + b · x + ca a · X 2 + b · x + c≤0 je množina všetkých skutočných čísel.

Algoritmus rozhodovania

Výsledok všetkých predchádzajúcich výpočtov je algoritmus pre grafické riešenie štvorcových nerovností:

Na súradnicovej rovine sa vykoná schematický nákres, na ktorom je zobrazená os Ox (os Oy je voliteľná) a náčrt paraboly zodpovedajúci kvadratickej funkcii y = a · x 2 + b · x + c. Na zostavenie náčrtu paraboly stačí zistiť dva body:

  • Najprv podľa hodnoty koeficientu a sa ukáže, kam smerujú jeho vetvy (pre> 0 - hore, pre - - dole).
  • A za druhé, hodnota rozlišovateľa štvorcového trojuholníka a · x 2 + b · x + c odhaľuje, či parabola pretína os x abs v dvoch bodoch (pre D> 0), dotýka sa ju v jednom bode (pri D = 0) alebo nemá spoločné body s osou Ox (pre D). Kvôli prehľadnosti sú na výkrese vyznačené súradnice priesečníkov alebo súradnica dotyčnicového bodu (ak sú tieto body) a samotné body sú pri riešení striktných nerovností prepichnuté alebo bežné pri riešení striktných nerovností.

Keď je kresba hotová, je na nej v druhom kroku algoritmu

  • pri riešení štvorcovej nerovnosti a · x 2 + b · x + c> 0 sa určujú intervaly, v ktorých sa parabola nachádza nad osou x,
  • pri riešení nerovnosti a · x 2 + b · x + c≥0 sa určujú intervaly, v ktorých sa nachádza parabola nad osou súradníc a sú k nim pridané súradnice priesečníkov (alebo súradnice dotykových bodov),
  • pri riešení nerovnosti a · x 2 + b · x + c existujú medzery, na ktorých je parabola pod osou Ox,
  • nakoniec, pri riešení štvorcovej nerovnosti tvaru a · x 2 + b · x + c <0, existujú medzery, v ktorých je parabola pod osou Ox a sú k nim pridané súradnice (alebo súradnice dotykových bodov),

predstavujú žiaduce riešenie štvorcovej nerovnosti, a ak neexistujú žiadne takéto medzery a nie sú žiadne body dotyku, potom pôvodná štvorcová nerovnosť nemá riešenia.

Ostáva len vyriešiť niekoľko štvorcových nerovností pomocou tohto algoritmu.

Podstata grafickej metódy

Táto metóda je použiteľná na riešenie akýchkoľvek nerovností, nielen štvorcových. Jeho podstata je táto: pravá a ľavá strana nerovnosti sa považujú za dve samostatné funkcie y = f (x) a y = g (x), ich grafy sú zostavené v pravouhlom súradnicovom systéme a vyzerajú, ktoré z grafov sú umiestnené nad ostatnými a ktoré intervaly. Medzery sa odhadujú takto:

  • riešenia nerovnosti f (x)> g (x) sú intervaly, v ktorých je graf funkcie f vyšší ako graf funkcie g,
  • riešenia nerovnosti f (x) ≥ g (x) sú intervaly, v ktorých graf f nie je nižší ako graf g,
  • riešenia nerovnosti f (x) g (x) sú intervaly, v ktorých je graf funkcie f nižší ako graf funkcie g,
  • riešenia nerovnosti f (x) ≤ g (x) sú intervaly, v ktorých graf f nie je vyšší ako graf g,
  • súradnice priesečníkov grafov funkcií fag sú riešenia rovnice f (x) = g (x).

Zvážte vyššie uvedený algoritmus pomocou príkladu. Aby ste to dosiahli, zoberte štvorcovú nerovnosť a · x 2 + b · x + c 0 (≤,>, ≥) a odvodte z nej dve funkcie. Ľavá strana nerovnosti bude zodpovedať y = a · x 2 + b · x + c (v tomto prípade f (x) = a · x 2 + b · x + c) a pravá y = 0 (v tomto prípade g (x) = 0).

Graf prvej funkcie je parabola, druhá je priamka, ktorá sa zhoduje s osou x. Analyzujme polohu paraboly vzhľadom na os O x. Vykonáme to schematickým nákresom.

Riešenie s dvoma koreňmi v kvadratickom trinomiáli

Vetvy paraboly sú nasmerované nahor. V bodoch prechádza osou x x 1 a x 2 , Koeficient a je v tomto prípade kladný, pretože za smer vetiev paraboly je zodpovedný ten. Diskriminačný je pozitívny, čo naznačuje prítomnosť dvoch koreňov v štvorcovom trojuholníku a x 2 + b x x c , Korene trojice, ktoré sme označili ako x 1 a x 2 a akceptovali to x 1 x 2 , pretože na osi Ox je zobrazený bod s osou x x 1 naľavo od bodu úsečky x 2 .

Časti paraboly umiestnené nad osou Ox sú označené červenou farbou, nižšie - modrou farbou. To nám umožní zviditeľniť obrázok.

Vyberte medzery, ktoré zodpovedajú týmto častiam, a označte ich na obrázku poľami určitej farby.

Červene sme označili medzery (- ∞, x 1) a (x 2, + ∞), na nich parabolu nad osou O x. Sú riešením kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c> 0. Modrou značkou sme označili interval (x 1, x 2), ktorý je riešením nerovnosti a · x 2 + b · x + c 0. Čísla x 1 a x 2 budú zodpovedať rovnosti a · x 2 + b · x + c = 0.

Urobme stručný záznam riešenia. Pre a> 0 a D = b2 - 4 · a · c> 0 (alebo D '= D4> 0 pre párny koeficient b) dostaneme:

  • riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c> 0 je (- ∞, x 1) ∪ (x 2, + ∞) alebo v inom zápise x x 1, x> x 2,
  • riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c ≥ 0 je (- ∞, x 1] ∪ [x 2, + ∞) alebo, v inom zápise, x ≤ x 1, x ≥ x 2,
  • riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c 0 je (x 1, x 2) alebo v inej notácii x 1 x x 2,
  • riešenie štvorcovej nerovnosti a · x 2 + b · x + c ≤ 0 je buď v inej notácii x 1 ≤ x ≤ x 2,

kde x 1 a x 2 sú korene štvorcového trojuholníka a · x 2 + b · x + c a x 1 x 2.

Riešenie s jedným koreňom pre kvadratický trojuholník

Na tomto obrázku sa parabola dotýka osi Ox iba v jednom bode, ktorý je označený ako x 0 , Vetvy paraboly sú nasmerované nahor, čo znamená, že a> 0 . D = 0 preto má trojuholník trojuholník jeden koreň x 0 .

Parabola je umiestnená úplne nad osou Ox, s výnimkou bodu dotyku súradnicovej osi. Farbami označujeme intervaly (- ∞, x 0), (x 0, ∞).

Zaznamenajte si výsledky. na a> 0 a D = 0 :

  • riešenie štvorcovej nerovnosti a x 2 + b x x c> 0 je (- ∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) alebo v inom zápise x ≠ x 0 ,
  • riešenie štvorcovej nerovnosti a x 2 + b x x c ≥ 0 to je ( − ∞ , + ∞ ) alebo v inom zápise x ∈ R,
  • štvorcová nerovnosť a x 2 + b x x c 0 nemá žiadne riešenia (žiadne intervaly, v ktorých je parabola umiestnená pod osou O x ),
  • štvorcová nerovnosť a x 2 + b x x c ≤ 0 má jediné riešenie x = x 0 (dáva vám kontaktný bod)

kde x 0 - koreň štvorcového trojuholníka a x 2 + b x x c .

Riešenie trojhranného trojuholníka bez koreňa

Uvažujme tretí prípad, keď sú vetvy paraboly nasmerované nahor a nedotýkajú sa osi O x , Vetvy paraboly sú nasmerované nahor, čo znamená, že a> 0 , Štvorcový trojuholník nemá odvtedy skutočné korene D 0 .

Na grafe nie sú žiadne intervaly, v ktorých by parabola bola pod osou abscis. Berieme to do úvahy pri výbere farby pre náš nákres.

Ukázalo sa, že s a> 0 a D 0 riešenie štvorcových nerovností a x 2 + b x x c> 0 a a x 2 + b x x c ≥ 0 je množina všetkých skutočných čísel a nerovností a x 2 + b x x c 0 a a x 2 + b x x c ≤ 0 nemajú žiadne riešenia.

Keď sú vetvy paraboly nasmerované nadol, musíme vziať do úvahy tri možnosti. Tieto tri možnosti sa nedajú zastaviť podrobne, pretože keď vynásobíme obe strany nerovnosti koeficientom - 1, dostaneme ekvivalentnú nerovnosť s kladným koeficientom na x 2.

Tento výukový program je k dispozícii na vyžiadanie.

Už máte predplatné? Prihláste sa

Počas hodiny budete môcť samostatne študovať tému „Grafické riešenie rovníc, nerovností“. Učiteľ v lekcii analyzuje grafické metódy riešenia rovníc a nerovností. Naučí vás, ako zostavovať grafy, analyzovať ich a získavať riešenia rovníc a nerovností. Lekcia bude obsahovať aj konkrétne príklady týkajúce sa tejto témy.

Téma: Numerické funkcie

Lekcia: Grafické riešenie rovníc, nerovnosti

1. Téma hodiny, úvod

Preskúmali sme grafy elementárnych funkcií, vrátane grafov výkonových funkcií s rôznymi exponentmi. Preskúmali sme tiež pravidlá posunu a transformácie funkčných grafov. Všetky tieto zručnosti sa musia uplatniť, keď sa to vyžaduje. grafickýrozhodnutie rovnice alebo grafika rozhodnutienerovnosti.

2. Grafické riešenie rovníc a nerovností

Príklad 1. Grafické riešenie rovnice:

Zostavíme funkčné grafy (obr. 1).

Graf funkcií

Graf funkcie je priamka, ktorú zostavíme podľa tabuľky.

Grafy sa pretínajú v bode, ktorý monotónne klesá, čo znamená, že ich priesečník je jedinečný.

Odpoveď znie:

Príklad 2. Vyriešte nerovnosť

a.

b.

a. Aby sme uspokojili nerovnosť, funkčný graf

b. Naopak, v tomto prípade parabola

a.

b.

Príklad 3. Riešenie nerovnosti

Zostavíme funkčné grafy (obr. 2).

Nájdite koreň rovnice.

Takže táto nerovnosť platí.

Odpoveď znie:

Príklad 4. Nerovnosť vyriešite graficky:

a.

b.

oblasť určujúce:

Zostavíme funkčné grafy (obr. 3).

a. Graf funkcií

b. Graf funkcií

a.

b.

3. Záver

Preskúmali sme grafickú metódu riešenia rovníc a nerovností, skúmali konkrétne príklady, pri riešení ktorých sme použili také vlastnosti funkcií, ako je monotónnosť a parita.

Odporúčaný zoznam čítaní

1. Mordkovich A.G. a ďalšie Algebra 9 buniek: Učebnica. Pre všeobecné vzdelávanie. Inštitúcie - 4. vydanie. - M .: Mnemozin, 2002.-192 s.: Chorý.

2. Mordkovich A.G. Algebra 9. ročníka: Kniha problémov pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina a ďalšie. - 4. vydanie. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 s .: Ill.

3. Makarychev Yu N. N. Algebra. Stupeň 9: učebnica. pre študentov všeobecného vzdelávania. inštitúcie / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K.I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. vydanie, Rev. a pridať. - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. Stupeň 9. 16. vydanie. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A. G. Algebra. Stupeň 9. 2. časť, 1. časť. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. vydanie. - M .: 2010. - 224 s .: Ill.

6. Algebra. Stupeň 9. Do 2 hodín Časť 2. Hádanky pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, L. A. Alexandrova, T. N. Mishustina a ďalšie, Ed. A. G. Mordkovich. - 12. vydanie, Rev. - M.: 2010.-223 s.: Chorý.

Odporúčané internetové odkazy

1. Sekcia College.ru z matematiky (zdroj).

2. Internetový projekt „Úlohy“ (zdroj).

3. Vzdelávací portál „UZNÁVAJEM skúšku“ (zdroj).

Odporúčaná domáca úloha

1. Mordkovich A.G. Algebra 9. ročníka: Kniha problémov pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina a ďalšie. - 4. vydanie. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 s .: Ill. Č. 355, 356, 364.

Ak nájdete chybu alebo nefunkčný odkaz, dajte nám vedieť - prispejte k rozvoju projektu.

Pin
Send
Share
Send
Send